Задачи Ч.3.2.

Электротехника и электроника

АНАЛОГОВЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ | назад| оглавление| вперёд

1.1. Краткие теоретические сведения

Электрическими фильтром называется линейный четырехполюсник, предназначенный для пропускания с малым ослаблением колебаний, частоты которых расположены в заданной полосе частот (полоса пропускания) и для пропускания с большим ослаблением колебаний других частот( полоса непропускания ).

По взаимному расположению полос пропускания и непропускания различают (рис I.I):

- фильтры нижних частот (ФНЧ);

- фильтры верхних частот (ФВЧ);

- полосовые фильтры (ПФ);

- заграждающие (режекторные) фильтры (ЗФ).

рис 1.1.а

рис 1.1.б

рис 1.1.в

рис 1.1.г

Требования к электрическим характеристикам фильтра формулируются путем указания:

- граничных частот полосы пропускания и максимального уровня рабочего ослабления в этом диапазоне частот;

- граничных частот полосы (полос) непропускания с указанием минимального уровня ослабления в пределах этой полосы;

- характеристическое сопротивление фильтра, обычно равного сопротивлению его нагрузки.

Целесообразно выделить три основных этапа расчета фильтров:

- пересчет требований к заданному фильтру в требования к ФНЧ-прототипу;

- решение задачи аппроксимации;

- решение задачи реализации и переход от ФНЧ-прототипа к заданному типу фильтра.

Хорошо разработанная методика расчета ФНЧ применима к расчету фильтров других типов, если характеристики заданного фильтра путем замены переменной (частоты) пересчитать в характеристики ФНЧ-прототипа. Формулы пересчета имеют вид:

для фильтра верхних частот , для полосового фильтра , где , для заграждающего фильтра

(1.3)

Ослабление в полосе непропускания и неравномерность в полосе пропускания ФНЧ-прототипа остаются те же, что и у проектируемого фильтра. Перед аппроксимацией частотных характеристик фильтра-прототипа следует выполнить нормирование по частоте. В качестве нормирующей берется граничная частота полосы пропускания .

Нормированное значение частоты:

(1.4)

Частотные характеристики передаточных функций полиномиального фильтра после нормирования по частоте записываются в виде:

(1.5)

Ослабление полиномиального фильтра, то есть его амплитудно-частотная характеристика

(1.6)

где коэффициенты находятся из соотношения

(1.7)

В качестве аппроксимирующих полиномов чаще всего используются полиномы Баттерворта и Чебышева.

При аппроксимации полиномами Баттерворта обеспечивается максимально плоская характеристика ослабления в пределах пропускания:

(1.8)

Коэффициент , обозначаемый обычно, характеризует неравномерность ослабления в полосе пропускания и вычисляется по формуле:

(1.9)

Степень аппроксимирующего полинома вычисляется по заданному значению [дБ] на границе полосы непропускания, то есть на частоте :

(1.10)

Полученное значение округляется до ближайшего целого числа (в большую сторону). Полином знаменателя передаточной функции фильтра комплексного аргумента составляется в соответствии с теоремой Виета для полюсов ,,..,, расположенных в левой полуплоскости переменного .

Формулы для нахождения полюсов имеют вид /2/:

(1.11)

.

Таким образом:

(1.12)

При аппроксимации полиномами Чебышева обеспечивается равномерно-колебательная характеристика ослабления в пределах полосы пропускания и максимальная крутизна нарастания ослабления в полосе задерживания среди всех типов полиномиальных фильтров равных порядков:

(1.13)

,где - полином Чебышева -ого порядка в интервале и - вне этого интервала.

Коэффициент неравномерности ослабления в полосе пропускания вычисляется по формуле (1.9).

Степень аппроксимирующего полинома, найденная по формуле

(1.14)

округляется до ближайшего большего целого числа.

Значения корней полинома знаменателя передаточной функции вычисляется следующим образом , где

(1.15)

,

а передаточная функция фильтра записываются в виде:

(1.16)

Расчет гиперболических ареа-синуса и ареа-косинуса удобно проводить по формулам:

(1.17)

Реализация пассивного - фильтра, представляющего собой реактивный четырехполюсник лестничной структуры, нагруженный на активное сопротивление , проводится по методу Дарлингтона на основе формулы входного сопротивления, которая в нормированных значениях имеет вид:

(1.18)

где - функция фильтрации.

Для фильтра Баттерворта -ого порядка она равна:

(1.19)

Для фильтра Чебышева -ого порядка функции фильтрации приведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1

| Полином Чебышева | Функция фильтрации
1 |  |
2 |  |
3 |  |
4 |  |
5 |  |
6 |  |

Выражение (1.18) раскладывается в цепную дробь (по Кауэру) вида:

(1.20)

где , - нормированные значения емкостей и индуктивностей и ФНЧ-прототипа.

Для вычисления истинных значений индуктивностей и емкостей фильтра НЧ-прототипа необходимо выполнить денормирование полученных значений и , осуществляемое по формулам:

;,

где , - сопротивление нагрузки.

При переходе от ФНЧ-прототипа к заданному типу фильтра следует руководствоваться следующим.

Преобразование ФНЧ в ФВЧ состоит в замене индуктивностей продольных ветвей цепи на емкости:

(1.22)

а емкость в поперечных ветвях на индуктивности:

(1.23)

При переходе к полосовому фильтру индуктивности продольного плеча заменяются последовательным колебательным контуром с параметрами:

; (1.24)

Вместо емкости в поперечном плече включается параллельный контур с элементами:

, (1.25)

Аналогичным образом рассчитываются параметры элементов заграждающего фильтра, только в продольном плече его:

, (1.26)

образуют параллельный колебательный контур, а поперечном плече

и (1.27)

последовательный контур.

Активные -фильтры представляют собой комбинацию пассивной - цепи и активного элемента. В качестве активного элемента чаще всего используются операционные усилители, имеющие инвертирующий и неинвертирующий входы.

Исходными данными для синтеза активного - фильтра служит нормированная передаточная функция ФНЧ-прототипа, полученная в результате аппроксимации рабочих характеристик. Обычно активный -фильтр осуществляется в виде каскадного соединения звеньев второго и одного звена первого порядка (при - нечетном). Звенья второго порядка располагают в направлении от входа к выходу в порядке возрастания добротности их полюсов, а звено первого порядка включается на выходе фильтра.

При расчете низкочастотных фильтров заданная функция разбивается на произведения передаточных функций не выше второго порядка:

(1.28)

Каждую из вновь полученных функций реализуют в виде звена первого или второго полрядка. Возможны различные варианты построения схем звеньев. Одна из них приведена на рис.1.2.

рис.1.2

Передаточная функция такой цепи:

(1.29)

Если в схеме рис.1.2 выбрать , и - активными: , и , а проводимости и - емкостными: и , тогда схема примет вид (рис.1.3), а передаточная функция ее запишется в виде:

(1.30)

рис.1.3

Приравнивая между собой коэффициенты передаточной функции, входящие сомножителями в (1.28) и коэффициенты выражения (1.30), получим три уравнения для вычисления пяти неизвестных , ,,,:

(1.31)

Задавшись значениями двух неизвестных, находим величины остальных. Следует иметь в виду, что при этом будут вычислены нормированные значения емкостей, так как коэффициенты передаточной функции получены для нормированной частоты:

Звено первого порядка ФНЧ имеет вид(рис1.4).

рис.1.4

Передаточная функция такого звена:

(1.32)

Сопоставляя коэффициенты этой функции с коэффициентами последнего сомножителя, в выражения (1.28) определяют нормированное значение постоянной времени звена фильтра.

При расчете ВЧ-активных - фильтров после разбиения передаточной функции фильтра НЧ-прототипа на сомножители (1.28) следует произвести замену переменной:

(1.33)

В результате передаточная функция полиномиального звена 2-го порядка ФВЧ будет иметь вид:

(1.34)

А звена 1-ого порядка:

(1.35)

Для реализации такого звена 2-ого порядка в схеме рис. 1.2 выберем проводимости и - активными и , а проводимости , и - емкостными , и .

Соответствующая схема будет иметь вид (рис.1.5).

рис.1.5

Передаточная функция такой схемы:

(1.36)

Значения элементов схем находятся путем сопоставления аналогичных коэффициентов выражений (1.34) и (1.36) значения 2-х из пяти неизвестных величин , , , и следует задаться.

Звено первого порядка ФВЧ имеет вид (рис 1.6) Передаточная функция такого звена /3/:

(1.37)

из сопоставления коэффициентов этой функции с коэффициентами выражения (1.35) находится нормированное значение постоянной времени звена.

рис.1.6

При проектировании полосового активного -фильтра после разбиения передаточной функции НЧ-прототипа на сомножители (1.28) проводят замену переменой:

, (1.38)

где , (1.39)

в результате чего передаточная функция звена второго порядка полосового фильтра:

(1.40)

где ,,, .

После несложных преобразований записывается в форме произведения двух передаточных функций вида:

(1.41)

Каждую из полученных передаточных функций можно реализовать (схема рис.1.2) , если принять , ,,,(рис.1.7).

рис.1.7

Передаточная функция схемы рис 1.7 имеет вид:

(1.42)

Элементы схемы ПФ определяются путем сопоставления коэффициентов выражений (1.41) и (1.42).

назад | оглавление | вперёд