Теория электрических цепей

Электротехника и электроника

Тема 6. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод анализа | назад | оглавление | вперёд |

6.5. Включение RLC-контура на постоянное и гармоническое напряжение

Включение RLC-контура на постоянное напряжение. Рассмотрим случай нулевых начальных условий uC(0–) = 0, i(0–) = 0, когда RLC-контур включается на постоянное напряжение (рис. 6.14).

Отличие данного случая от рассмотренного выше заключается в нулевых начальных условиях и наличии принужденной составляю щей uCпр = U. Свободная составляющая uCсв определяется, как и ранее, уравнениями (6.43), (6.51) или (6.59) в зависимости от вида корней р1 и р2. Постоянные интегрирования А1 и А2 находятся при этом из начальных условий i(0–) = 0, uC(0–) = 0 и законов коммутации для i и uC. Определим, например, закон изменения uC, i и uL в случае, когда корни р1 и р2 — вещественные и различные. При этом uC св определяются уравнением (6.43), а напряжение uC и ток i имеют следующий вид:
(6.64)

Для нахождения коэффициентов А1 и А2 используем начальные условия uC(0– ) = 0 и i(0– ) = 0, а также законы коммутации, определяемые выражениями (6.1),(6.2):
(6.65)

Тогда
(6.66)

Окончательные уравнения для иС, i, иL имеют вид
(6.67)
(6.68)
(6.69)

На рис. 6.15 изображены графики зависимостей (6.67)—(6.69), где моменты времени t1 и t2 определяются уравнениями (6.49). Сравнение формул (6.67)—(6.69) с (6.46)—(6.48) показывает, что ток i и напряжение иL отличаются только знаком, а напряжение иС — наличием постоянной составляющей U.

Аналогичным можно найти уравнения напряжений и тока для случая R < 2:
(6.70)
(6.71)
(6.72)

На рис. 6.15 штриховой линией показана зависимость (6.70), которая свидетельствует о колебательном характере заряда емкости. Таким же образом можно получить уравнения для uC, i и uL для случая критического заряда емкости С при R = 2.

Включение RLC-контура на гармоническое напряжение. При включении RLC-контура на гармоническое напряжение u = Umsin(t + u ) принужденная составляющая напряжения на емкости
(6.73)
где C = u + — /2. Здесь фазовый сдвиг между током в контуре и приложенным напряжением
(6.74)
а амплитуда принужденного напряжения на емкости
(6.75)

Учитывая, что колебательный контур в радиотехнических устройствах, как правило имеет высокую добротность, т. е. выполняется условие R 2, то свободная составляющая uCсв определяется уравнением (6.51), и закон изменения напряжения на емкости будет иметь вид
(6.76)

Взяв производную от выражения (6.76), и учтя, что для заданного контура , получим уравнение тока
(6.77)

Постоянные интегрирования A и находим из начальных условий и законов коммутации:
(6.78)

Откуда
(6.79)
(6.80)

Подставив значения А и из уравнений (6.79), (6.80) в (6.76) и (6.77), получим окончательный закон изменения напряжения на емкости и тока в RLC-контуре:
(6.81)
(6.82)

Анализ уравнений (6.81), (6.82) показывает, что в случае, когда частота приложенного напряжения существенно превышает резонансную частоту контура 0 при C 0 в цепи могут возникнуть сверхнапряжения, а в случае и C /2 — сверхтоки.

Если частота задающего напряжения = 0, то при этом в цепи возникают явления изохронизма, когда напряжение на емкости и ток в контуре плавно изменяется в соответствии с уравнениями:
(6.83)
(6.84)

При этом переходный процесс протекает без перенапряжений и сверхтоков (рис. 6.16, а).

В случае, когда частота заданного напряжения и резонансная частота контура 0 близки между собой, то в контуре возникают явления биений. Положим, что a = 0, тогда
(6.85)
где UmС(t) = 2UmСсost — амплитуда биений с угловой частотой = ( — 0 )/2. На рис. 6.16, б, показан график изменения напряжений биений (6.85).

назад | оглавление | вперёд